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biegebalken.jpg

Hallo Zusammen,
die Eigenfrequenz berechnet sich aus der Formel sqrt(c/m). Darüber lässt sich auch mit einer statisch Strukturmechanik Analyse eine Abschätzung der angeregten! Eigenfrequenz machen. Dabei muss jedoch unbedingt der Betrag der mitschwingenden Masse verwendet werden. ANSYS gibt den Faktor pro Richtung (U/ROT) im solve.out bei der Modalenanalyse aus. Beim Vergleich mit meiner Handrechnung komme ich auf eine Unstimmigkeit welche ich mir nicht erklären kann.

Beispiel:
- Zweiseitig eingespannter Biegebalken (U und ROT = 0)
- Totale Masse = 78.5kg

- Nachstellung des ersten Biegemode über am Ende angreifende Last (in Z-Richtung)
- Steifigkeit folgt aus stat.-mech Analyse c = 205 N/mm
- Annahme: Es schwingt 40% der Masse mit
- Resultat: f = w/(2*pi) = 12.9Hz

- Modalanalyse besagt Mode 1 = 13.3Hz (Stimmt ja schon mal nicht schlecht!)
- und folgendes steht im solve.out:

          ***** PARTICIPATION FACTOR CALCULATION *****  Z  DIRECTION
                                                                                  CUMULATIVE    RATIO EFF.MASS
  MODE  FREQUENCY      PERIOD      PARTIC.FACTOR    RATIO    EFFECTIVE MASS  MASS FRACTION  TO TOTAL MASS

    1    13.3265      0.75038E-01  0.23258        1.000000    0.540930E-01    0.743850        0.689083   

FRAGE:
- Wie resp. wiso kommt ANSYS auf eine Ratio von 69% für die Z-Richtung?

Anmerkung:
- Die Randbedingungen sind exakt die selben.

Vielen Dank für euren Support.

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Hallo Anton,
auf die Ratio der "Eff. Mass" zur "Total Mass" kommt man wenn man:
eff. Mass = 0,54093e-01 teilt durch die Total Mass = 0,785e-01.

Summierst Du alle eff. Massen mit einander auf, sollte wieder die "Totale Masse" herauskommen, wenn nicht fehlen noch ein paar Eigenfrequenzen... Das siehst Du dann auch am Ratio. Demnach werden noch ca. 7,5% der Massenanteile bei höheren Frequenzen angeregt.

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Gruss
Deepblue

[Diese Nachricht wurde von deepblue am 09. Jan. 2012 editiert.]

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Hallo Zusammen,
erst mal vielen Dank an deepblue. Mittlerweile bin ich auch noch etwas schlauer geworden.

Ich habe grundsätzlich zwei Punkte verwechselt. Deepblue hat schon die Erklärung zum Faktor im FE Programm (Mathematischer Ausdruck) gegeben.

Den Ausdruck den ich zum zweiten gemeint und gleich bezeichnet hatte ist nicht der selbe. Ebenso stimmt die Aussage nicht, dass bei dem gezeigten massebelegten Träger die Eigenfrequenz aus w=(k/m)^0.5 [1] berechnet wird. Es gibt für diesen Fall (und viele weitere Fälle) eine exakte Gleichung (w=pi^2*(E*I/(m*l^4))^0.5)[2]. Jedoch ist es möglich mit einer ingenieursmässigen Abschätzung (p) und einer leicht abgeänderten Form der simplen Gleichung [1] eine Lösung abzuschätzen: w=(k/(m*p))^0.5 [3]; p beschreibt eben einen Reduktionsfaktor für die mitschwingende Masse. Der Faktor p darf nicht mit dem jenen der als Resultat der FE Analyse vorliegt verglichen werden. Die Steifigkeit k für die Gleichung muss dann auch der gesuchten Form entsprechen.

Habe zu diesem Thema eine Präsentation erstellt welche bei Interesse bei mir bezogen werden kann. Eine Mail genügt.

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Hallo Herr Hoeller,

leider ist die angegebene Formel (w=pi^2*(E*I/(m*l^4))^0.5) für den beidseitig eingespannten Balken falsch -es fehlt der Faktor 2.27. Die zitierte Formel gilt für den beidseitig freigelagerten Balken.

Und ich bin verwundert warum man die Eigenfrequenz eines mit Masse belegten Balken mit dieser "ingenieursmäßigen" Abschätzung berechnen sollte. Die angegebenen Formeln sind doch sehr anschaulich. Hingegen verleitet die Abschätzung eher dazu auch Systeme abzuschätzen bei denen kein gleichmäßiges Trägheitsmoment etc. vorhanden ist. Und der Schwachpunkt ist eindeutig die Bestimmung der mitschwingenden Masse.
Zu Ihrem Eingangsbeispiel: Hätte ich statt der verwendeten 40% mit 50% der Masse gerechnet so läge ich bei 14.9 Hz, und mit 30% der Masse kommen 11.5 Hz raus - bei einem quasi analytischen Wert von 13.2 Hz.

Und nicht immer ist die unterste Eigenfrequenz maßgeblich - denken Sie an Motorenanregungen. Schon ein wechselndes Biegemoment würde für den zuerst berechneten Fall nicht die erste sondern die 2. und alle anderen unsymmetrischen Schwingungen anregen.
Ich denke man sollte für Kontrollrechnungen auf die simpelsten analytischen Lösungen zurückgreifen, denn dort sind auch die Eigenformen mit aufgeführt.
Wenn man schon Analysen mit einen FE-Programm durchführt, dann ist es auch keine große Sache mehr die Eigenfrequenzen zu bestimmen.

Gruß
Gerd Achtmer

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Hallo,

ich wollte noch anmerken, dass die Berechnung der Eigenfrequenzen in dieser Aufgabenstellung gar nicht möglich bzw. sinnvoll ist, da beim beidseitig eingespannten Träger eine nichtlineare Spannungsversteifung vorliegt (siehe bspw.: FEM für Praktiker der Teil Strukturdynamik von U. Stelzmann u. a.).

Begründung: Die Eigenfrequenz einer Gitarrensaite wird bekanntermaßen stark von deren Vorspannung bestimmt. Die Vorspannung der Saite ist in der Regel aber unabhängig von deren Durchbiegung. Die Vorspannkraft in dieser Aufgabe hängt aber sehr von der Durchbiegung des Trägers selbst ab. Da bei einem Eigenwertproblem die Eigenform lediglich bis auf einen Faktor (bspw. die maximale Durchbiegung) bestimmt werden kann, ist eine Aussage über den Eigenwert (Frequenz) nicht möglich. Es verbleibt nur die Möglichkeit einer nichtlinear transienten Analyse bei der Simulation dieser Struktur. Eine Anpassung über einen Faktor (bspw. mitschwingende Masse) ist in diesem Fall nicht zielführend.

Viele Grüße

Hendrik

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Was hat ein simpler Biegebalken mit einer Gitarrenseite zu tun?
Nur weil ein Schalenmodell verwendet wurde, dessen Dicke nicht im Plot dargestellt wurde ist es noch lange kein Seil.
Solange ich linear rechne gibt es keine Koppelung zwischen den Axialkräften und den Biegemomenten. Somit hat auch die Vorspannung keinen Einfluss.
Mit diesen Modellen (analytisch) haben wir die ganzen Eigenfrequenzen von versteiften Plattenfeldern berechnet  und die  Werte wurden auch durch Messungen bestätigt.
Es geht hierbei um eine ingenieursmäßige Berechnung die natürlich mit Ungenauigkeiten behaftet ist (Annahme Massen, genaue Einspannverhältnisse etc.) aber dennoch gute Ergebnisse liefert.
Damit wirst Du später immer zu tun haben – eine gute Schätzung ist mehr wert als jede Zahlenquälerei.

Gerd

[Diese Nachricht wurde von smittytomcat am 16. Jan. 2012 editiert.]

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Hallo Herr Achtmer,
vielen Dank für Ihren Beitrag und danke für den Hinweis mit der Formel, völlig korrekt. Hatte bei meinen Untersuchungen die Rotationen dann eben doch mal freigegeben.

Die Fragestellung folgt ursprünglich aus einem Dynamik Kurs der NAFEMS (www.nafems.org). Es wurde dort behauptet dass eben auch die Eigenfrequenz von komplexen Strukturen mittels der Formel w=sqrt(k/m) abgeschätzt werden kann. Mein Ziel war dies zu verifizieren. Dabei bin ich als erster Schritt auf einen einfachen Biegebalken los.

Ich erachte die "Abschätzungsmethode" eher als Ergänzung z.B. als Quervergleich und zum erweiterten Verständnis. Sie ersetzt keines Wegs eine ordentliche Modalanalyse.

Freundliche Grüsse
Anton Höller

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»Beautiful is better than ugly.
Explicit is better than implicit.
Simple is better than complex.
Complex is better than complicated.
Readability counts.«
– Tim Peters in »The Zen of Python«

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Hallo Hendrik,
es handelt sich wie auch erwähnt um eine lineare dynamische Analyse.
Auch eine vorgespannte Modalanalyse ist - so wie mir bekannt ist - immer noch linear.

Ob eine Gitarrensaite nicht linear betrachtet werden muss, kann ich nicht sagen.

Gruss Anton

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– Tim Peters in »The Zen of Python«

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Ein kurzer Nachtrag:
Die Koppelung von axialer und Biegesteifigkeit mag gegeben sein bei größeren Durchbiegungen. Ansonsten kann man sehr schnell analytisch oder mit Arbeitsansätzen nachweisen das dieser Effekt verschwindend klein ist.
Bei praktischen Messungen wird man feststellen das die Schwingungsampltuden klein sind, d.h. auch bei einem Träger von z.B. 2 m Länge der allen Festigkeitsforderungen, Gebrauchtauglickeit usw.  entspricht und auch die Grenzen auslotet wird man kaum sichtbare nur gefüllt "große" Amplituden messen.
Man berücksichtigt ja auch keine Dämpfung bei der Analyse, Und wie schon erwähnt die lieben Massen sind das Problem. Deshalb werden bei einer Gegenüberstellung von Eigen- und Erregerfrequenzen ja auch gewisse Fenster vereinbart um diese Ungenauigkeiten zu berücksichtigen.

Gruß
Gerd

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Hallo,

zunächst einmal habe ich diese Anmerkung gemacht, da ich schon von Vergleichen zwischen experimentellen und numerischen Modalanalysen von eingespannten Platten gehört habe, wo die Ergebnisse sehr weit auseinander lagen, wenn man die Spannungsversteifung nicht berücksichtigt.

@smittytomcat:

Die Saite war als Beispiel für die Wirkung der Spannungsversteifung gedacht, aber eigentlich ist die Saite ja auch ein Biegebalken (von daher ist ein Zusammenhang gegeben). Wenn bei Ihnen die Ergebnisse zwischen Simulation und Experiment übereinstimmen, dann ist das sehr schön, ich habe in meiner Ausbildung jedoch auch gegenteiliege Aussagen gehört.

Zur Theorie:

Wie stark die Spannungsversteifung die Eigenfrequenz tatsächlich beeinflusst, können Sie bei dieser Aufgabenstellung nicht ohne Kenntnis der Verformung sagen, weil sich die Normalkraft mit der Durchbiegung ändert (streng genommen existiert nicht mal die Eigenfrequenz für dieses System). Die Versteifung kann bei einer entsprechenden Zugsteifigkeit sicherlich nicht unerheblich sein. Bei der Gitarre geht man aber davon aus, dass die Vorspannng der Saite viel größer ist als der Zusatzanteil durch die Verlängerung und damit konstant ist. Die konstante Vorspannkraft kann man in einer "vorgespannten Modalanalyse" berücksichtigen. Die Gitarrensaite kann damit linear berechnet werden.

Es war auch nicht mein Anliegen Ihnen die Faustformeln madig zu machen, sicher ist es gut schon mal 60% dran zu sein als gar keine Ahnung zu haben. Allerdings muss man auch vorsichtig sein, dass man sich mit solchen Parametern nicht die Ergebnisse schön rechnet.

Viele Grüße Hendrik

 

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Dann mal bitte Ross und Reiter nennen und sich nicht auf das Hörensagen beschränken.
Wo und wann hat man bei Plattenfelder unterschiedliche Eigenwerte durch die Berücksichtigung der Membrananteile infolge Normalspannung gemessen?

Und natürlich ändert sich infolge einer Verformung auch die Membranspannung in der Platte, aber die Berücksichtigung dieses Effekts würde bedeuten das ich bei jeder Rechung  - egal ob nun statisch, dynamisch ... immer mit voller Nichtlinearität rechnen muß.
Wann würde ich dann mal mit der Arbeit fertig? Und vor allem - wie groß ist der Einfluß?
Ich denke unter Berücksichtigung aller Parameter wie Material etc. hat man soviel Streuung das man die genannten Effekte mal vernachlässigen kann. Ob das geht oder nicht, dann widerum hängt von der Erfahrung des Berechners ab.

Übrigens lieferten die analytischen Formeln nicht Ergebnisse von 60% der Messergebnisse sondern eher 90% wenn nicht mehr der Messergebnisse.
Da über Jahre diese Verfahren angewendet wurden als es noch zu aufwendig war überall FE-anzuschmeissen und die Konstruktionen damit gut bemessen wurden ohne zuviel Rüttel und Schüttel, gehe ich davon aus das die Methode auch nach wie vor gut geeignet ist.

Gruß
Gerd

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Hallo!

@smittytomcat:

Die Information hatte ich aus meiner damaligen Vorlesung Strukturdynamik, welche ein MA der Firma CADFEM gehalten hat. Beim Thema Spannungsversteifung waren da 2 Balken abgebildet a) beidseitig fest eingespannt b) gleiche Rb nur eine Längsverschiebung war frei und es wirkte eine konstante Längskraft. In diesem Zusammenhang ist er darauf eingegangen, dass man die Eigenfrequenzen von a) eigentlich nicht mit einer Modalanalyse (auch nicht vorgespannt) bestimmen kann, da die Versteifung nichtlinear ist, b) hingegen schon. An dieser Stelle hat er darauf hingewiesen, dass es bei Nichtbeachtung der Spannungsversteifung zu merklichen Abweichungen führen kann und hat auf seine Erfahrung verwiesen. Sie haben natürlich Recht, dass bei kleinen Verformungen der Effekt 2. Ordnung kaum ins Gewicht fällt.

@Anton:

Bei dieser Methode sollte man aber sicher beachten, durch welche RB man die Steifigkeit erhält. Wählt man eine Einzellast, dann ist die Steifigkeit doch anders als bei einer Streckenlast. Entscheidend ist sicherlich wie gut die RB die eigentliche Schwingungsform treffen. Bei komplexen Strukturen ist das finden geeigneter RB und die Bestimmung der jeweiligen Massen wahrscheinlich aufwendiger als die Modalanalyse.

Viele Grüße

Hendrik

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Ob ein Eninfliß gegeben ist kann man sehr einfach über einen einfachen Arbeitsansatz unter Verwendung von trigonometrischen Ansatzfunktionen für die Verformungen abschätzen.
Für einen frei aufgelagerten Balken (mal der Einfachheit halber) ergibt sich:

f = 0.5 * (pi / l**2) * sqrt(EI/m) * sqrt(1 +- F/Fki), wobei F die wirkende Axiallast ist, und Fki die Beullast darstellt (F positiv für Zug, negativ  für Druck).

Setze ich mal einen Träger z.B. IPB200 an, so ergibt sich mit A=78.1 cm2, Imin=2000 cm4, L=400 cm sowie E=21000 KN/cm2 ein FKi= 2590 KN, das entspricht einer Spannung von 332 N/mm2.
Erst ab einer Axiallast von 10% der Knickkraft erhält man eine deutliche Wirkung, ansonsten bleibt man unter 5% Einfluß (das bei einer Belatung von 25 t) Dieser Einfluß wird aber schon durch die definierten Fenster von der die Erregungen liegen sollten abgedeckt. Desweiteren muß man sich auch mal darüber im klaren sein das jedes Material z.B. Stahlplatten Dickentoleranzen haben kann.

Allerdings kann sich natürlich auch eine Schwingung auf einen auf Druck belasteten Träger auswirken und zum teilweisen Versagen führen. Das kann z.B. im Hochbau eine  Rolle spielen kann wenn die Stahlstützen hochbelastet sind und ich mit einer guten Anregung z.B. durch ein Dieselaggregat die Stützen dann zum Schwingen bringe.
Die Beurteilung ob ein Effekt zählt oder nicht, die kann man dann schon durch einen leichten Überschlag abschätzen, und da ist mal der Ingenieurverstand gefragt. Ansonsten mal die Kirche im Dorf lassen.
Gruß
Gerd

[Diese Nachricht wurde von smittytomcat am 18. Jan. 2012 editiert.]

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